क्रमगुणित
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n | n! |
---|---|
0 | 1 |
1 | 1 |
2 | 2 |
3 | 6 |
4 | 24 |
5 | 120 |
6 | 720 |
7 | 5040 |
8 | 40320 |
9 | 362880 |
10 | 3628800 |
11 | 39916800 |
12 | 479001600 |
13 | 6227020800 |
14 | 87178291200 |
15 | 1307674368000 |
16 | 20922789888000 |
17 | 355687428096000 |
18 | 6402373705728000 |
19 | 121645100408832000 |
20 | 2432902008176640000 |
70 | 1.197857167×१०100 |
100 | 9.332621544×१०157 |
450 | 1.733368733×१०1,000 |
1000 | 4.023872601×१०2,567 |
3249 | 6.412337687×१०10,000 |
10000 | 2.846259681×१०35,659 |
25206 | 1.205703438×१०1,00,000 |
100000 | 2.824229408×१०4,56,573 |
205023 | 2.503898931×१०10,00,004 |
1000000 | 8.263931687×१०55,65,708 |
1723508 | 5.290070307×१०1,00,00,001 |
2000000 | 3.776821058×१०1,17,33,474 |
10000000 | 1.2024234×१०6,56,57,059 |
14842907 | 2.788662974×१०10,00,00,000 |
गणित में किसी अऋणात्मक पूर्णांक n का क्रमगुणित या 'फैक्टोरियल' वह संख्या है जो उस पूर्णांक n तथा उससे छोटे सभी धनात्मक पूर्णांकों के गुननफल के बराबर होता है। इसे n!, से निरूपित किया जाता है। उदाहरण के लिये,
0! का मान is 1 होता है।
गणित के अनेकों क्षेत्रों में क्रमगुणित का उपयोग करना पड़ता है, जिनमें से क्रमचय-संचय, बीजगणित तथा गणितीय विश्लेषण प्रमुख हैं।
इतिहास[संपादित करें]
क्रमगुणित की अवधारणा कई संस्कृतियों में स्वतंत्र रूप से उत्पन्न हुई है:
- भारतीय गणित में, फैक्टोरियल का सबसे पहला ज्ञात विवरण अनुयोगद्वार-सूत्र से आता है,[1] जो जैन साहित्य के प्रामाणिक कार्यों में से एक है, जिसे 300 ईसा पूर्व से 400 ईसवी तक की तिथियां दी गई हैं।[2] यह वस्तुओं के एक समूह के क्रमबद्ध और उलटे क्रम को अन्य ("मिश्रित") क्रमों से अलग करता है, तथा क्रमगुणित के लिए सामान्य उत्पाद सूत्र से दो घटाकर मिश्रित ऑर्डर की संख्या का मूल्यांकन करता है। क्रमचय के लिए गुणन नियम का वर्णन 6वीं शताब्दी ई. के जैन भिक्षु जिनभद्र ने भी किया था।[1] हिंदू विद्वान कम से कम ११५० के बाद से क्रमगुणित सूत्रों का उपयोग कर रहे हैं, जब भास्कर द्वितीय ने अपने काम लीलावती में क्रमगुणित का उल्लेख किया था, एक समस्या के संबंध में कि विष्णु अपने चार विशिष्ट वस्तुओं (शंख, चक्र, गदा, और कमल का फूल) को अपने चार हाथों में कैसे पकड़ सकते हैं, और दस-हाथ वाले भगवान के लिए एक समान समस्या।[3]
- मध्य पूर्व के गणित में, सृष्टि की हिब्रू रहस्यवादी पुस्तक सेफर यतिजिराह, जो कि तल्मूडिक काल (200 से 500 ई.) की है, में 7! तक के क्रमगुणित की सूची दी गई है, जो कि हिब्रू वर्णमाला से बनने वाले शब्दों की संख्या की जांच का एक हिस्सा है।[4][5] 8वीं शताब्दी के अरब व्याकरणविद अल-खलील इब्न अहमद अल-फ़राहिदी ने भी इसी तरह के कारणों से क्रमगुणित का अध्ययन किया था।[4] अरब गणितज्ञ इब्न अल-हेथम (जिन्हें अलहाज़ेन के नाम से भी जाना जाता है, सी. 965 - सी. 1040) क्रमगुणित को अभाज्य संख्या से जोड़ने वाले विल्सन प्रमेय को तैयार करने वाले पहले व्यक्ति थे।[6]
- यूरोप में, हालांकि यूनानी गणित में कुछ संयोजन शामिल थे, और प्लेटो ने एक आदर्श समुदाय की जनसंख्या के रूप में 5,040 (एक क्रमगुणित) का इस्तेमाल किया था, आंशिक रूप से इसकी विभाज्यता गुणों के कारण,[7] क्रमगुणित के प्राचीन ग्रीक अध्ययन का कोई प्रत्यक्ष प्रमाण नहीं है। इसके बजाय, यूरोप में क्रमगुणित पर पहला काम यहूदी विद्वानों जैसे कि शब्बेथाई डोनोलो द्वारा किया गया था, जिसमें सेफर यतिज़िराह मार्ग की व्याख्या की गई थी।[8] 1677 में, ब्रिटिश लेखक फेबियन स्टेडमैन ने चेंज रिंगिंग में क्रमगुणित के अनुप्रयोग का वर्णन किया, जो एक संगीत कला है जिसमें कई ट्यून की गई घंटियों को बजाना शामिल है।[9][10]
15वीं शताब्दी के उत्तरार्ध से क्रमगुणित पश्चिमी गणितज्ञों के अध्ययन का विषय बन गया। 1494 के एक ग्रंथ में, इतालवी गणितज्ञ लुका पसिओली ने डाइनिंग टेबल व्यवस्था की एक समस्या के संबंध में 11! तक के क्रमगुणित की गणना की।[11] क्रिस्टोफर क्लैवियस ने जोहान्स डी सैक्रोबोस्को के काम पर 1603 की एक टिप्पणी में फैक्टोरियल पर चर्चा की, और 1640 के दशक में, फ्रांसीसी पॉलीमैथ मैरिन मर्सेन ने क्लैवियस के काम के आधार पर, 64! तक के फैक्टोरियल की बड़ी (लेकिन पूरी तरह से सही नहीं) सारणियां प्रकाशित कीं।[12] घातांकीय फलन के लिए घात श्रेणी, इसके गुणांकों के लिए फैक्टोरियल के पारस्परिक के साथ, पहली बार 1676 में आइजैक न्यूटन द्वारा गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज को लिखे एक पत्र में तैयार किया गया था।[13] क्रमगुणित पर प्रारंभिक यूरोपीय गणित के अन्य महत्वपूर्ण कार्यों में जॉन वालिस द्वारा 1685 के ग्रंथ में व्यापक कवरेज, अब्राहम डी मोइवर द्वारा 1721 में के बड़े मूल्यों के लिए उनके अनुमानित मूल्यों का एक अध्ययन, जेम्स स्टर्लिंग द्वारा डी मोइवर को 1729 का एक पत्र जिसमें बताया गया था कि स्टर्लिंग का सन्निकटन के रूप में क्या जाना जाता है, और डैनियल बर्नौली और लियोनहार्ड यूलर द्वारा उसी समय क्रमगुणित फलन के गामा फलन तक निरंतर विस्तार को सूत्रबद्ध करने का कार्य शामिल है। [14] एड्रियन-मैरी लीजेंड्रे ने लीजेंड्रे का सूत्र शामिल किया, जिसमें अभाज्य घातों में क्रमगुणित के कारकीकरण में घातांकों का वर्णन किया गया था, संख्या सिद्धांत पर 1808 के एक पाठ में।[15]
The notation for factorials was introduced by the French mathematician Christian Kramp in 1808.[16] Many other notations have also been used. Another later notation , in which the argument of the factorial was half-enclosed by the left and bottom sides of a box, was popular for some time in Britain and America but fell out of use, perhaps because it is difficult to typeset.[16] The word "factorial" (originally French: factorielle) was first used in 1800 by Louis François Antoine Arbogast,[17] in the first work on Faà di Bruno's formula,[18] but referring to a more general concept of products of arithmetic progressions. The "factors" that this name refers to are the terms of the product formula for the factorial.[19]
परिभाषा[संपादित करें]
एक धनात्मक पूर्णांक का क्रमगुणित फलन से छोटे सभी धनात्मक पूर्णांकों के गुणनफल द्वारा परिभाषित किया जाता है।[20]
यदि इस गुणन सूत्र को अंतिम पद को छोड़कर बाकी सभी पदों को रखने के लिए बदल दिया जाता है, तो यह एक छोटे क्रमगुणित के लिए समान रूप का एक गुणनफल परिभाषित करेगा। यह एक पुनरावृत्ति संबंध की ओर ले जाता है, जिसके अनुसार क्रमगुणित फलन का प्रत्येक मान पिछले मान को से गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है:[21]
शून्य का क्रमगुणित[संपादित करें]
का क्रमगुणित है, या प्रतीकों में, है। इस परिभाषा के लिए कई प्रेरणाएँ हैं:
- के लिए, की परिभाषा में गुणनफल के रूप में किसी भी संख्या का गुणनफल शामिल नहीं है, और इसलिए यह व्यापक सम्मेलन का एक उदाहरण है कि खाली गुणनफल, बिना किसी कारक का गुणनफल, गुणात्मक पहचान के बराबर है।[22]
- शून्य वस्तुओं का बिल्कुल एक क्रमचय है: क्रमचय करने के लिए कुछ भी न होने पर, कुछ भी नहीं करना ही एकमात्र पुनर्व्यवस्था है।[21]
- यह परिपाटी क्रमचय-संचय में कई पहचानों को उनके मापदंडों के सभी वैध विकल्पों के लिए वैध बनाती है। उदाहरण के लिए, के एक सेट से सभी तत्वों को चुनने के तरीकों की संख्या एक द्विपद गुणांक पहचान है जो केवल with के साथ वैध होगी।[23]
- के साथ, क्रमगुणित के लिए पुनरावृत्ति संबंध पर वैध रहता है। इसलिए, इस परिपाटी के साथ, क्रमगुणित की पुनरावर्ती गणना के लिए आधार मामले के रूप में केवल शून्य का मान होना चाहिए, जिससे गणना सरल हो जाएगी और अतिरिक्त विशेष मामलों की आवश्यकता नहीं होगी।[24]
- सेट करने से कई सूत्रों, जैसे कि घातांकीय फलन, को घात श्रेणी के रूप में संक्षिप्त रूप से व्यक्त करने की अनुमति मिलती है: [13]
इन्हें भी देखें[संपादित करें]
सन्दर्भ[संपादित करें]
- ↑ अ आ दत्ता, बिभूतिभूषण; सिंह, अवदेश नारायण (2019). "Use of permutations and combinations in India". प्रकाशित कोलाचना, आदित्य; महेश, के.; रामसुब्रमण्यम, के. (संपा॰). भारतीय गणित और खगोल विज्ञान में अध्ययन: कृपाशंकर शुक्ल के चुनिंदा लेख. Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. Springer Singapore. पपृ॰ 356–376. S2CID 191141516. डीओआइ:10.1007/978-981-13-7326-8_18.. Revised by K. S. Shukla from a paper in Indian Journal of History of Science 27 (3): 231–249, 1992, साँचा:MR. पृष्ठ 363 देखें
- ↑ जाधव, दीपक (अगस्त 2021). "Jaina Thoughts on Unity Not Being a Number". History of Science in South Asia. University of Alberta Libraries. 9: 209–231. S2CID 238656716. डीओआइ:10.18732/hssa67.. पृष्ठ 211 पर तिथि निर्धारण की चर्चा देखें।
- ↑ Biggs, Norman L. (May 1979). "The roots of combinatorics". Historia Mathematica. 6 (2): 109–136. MR 0530622. डीओआइ:10.1016/0315-0860(79)90074-0.
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<ref>
का गलत प्रयोग;gkp
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- ↑ गोल्डनबर्ग, ई. पॉल; कार्टर, सिंथिया जे. (अक्टूबर 2017). "एक छात्र (−5) के बारे में पूछता है!". The Mathematics Teacher. 111 (2): 104–110. JSTOR 10.5951/mathteacher.111.2.0104. डीओआइ:10.5951/mathteacher.111.2.0104.
- ↑ Haberman, Bruria; Averbuch, Haim (2002). "कंप्यूटर विज्ञान शिक्षा में नवाचार और प्रौद्योगिकी पर 7वें वार्षिक SIGCSE सम्मेलन की कार्यवाही, ITiCSE 2002, आरहूस, डेनमार्क, 24-28 जून, 2002". In Caspersen, Michael E.; Joyce, Daniel T.; Goelman, Don et al.. एसोसिएशन फॉर कंप्यूटिंग मशीनरी. p. 84–88. doi:10.1145/544414.544441.
- ↑ फैरेल, ओरिन जे.; रॉस, बर्ट्रम (1971). विश्लेषण में हल की गई समस्याएं: जैसा कि गामा, बीटा, लीजेंड्रे और बेसेल फ़ंक्शन पर लागू होता है. डोवर बुक्स ऑन मैथमेटिक्स. कूरियर कॉर्पोरेशन. पृ॰ 10. आई॰ऍस॰बी॰ऍन॰ 978-0-486-78308-6.
बाहरी कड़ियाँ[संपादित करें]
- क्रमगुणित कैलकुलेटर और एल्गोरिदम
- क्रमगुणित कैलकुलेटर: तुरन्त 10^14! तक के क्रमगुणित ढूंढता है
- एनिमेटेड क्रमगुणित कैलकुलेटर: सामान्य प्राथमिक विद्यालय के एग्लॉरिथम का उपयोग करके हाथ से गणना किए गए क्रमगुणित को दर्शाता है
- "क्रमगुणित" एड पेग, जूनियर और रॉब मॉरिस द्वारा, वोल्फ्राम डेमोंस्ट्रेशन प्रोजेक्ट, 2007.
- तेज़ क्रमगुणित फलन (जावा, सी#, सी++, स्काला और गो में स्रोत कोड के साथ)